Mestrado em Matemática para Professores | Master in Mathematics for Teachers - TMMP
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- Em torno da noção de conjuntoPublication . Ambrósio, Carla Alexandra Correia de SousaA inserção de noções básicas da Teoria dos Conjuntos de forma estruturada nos progra-mas curriculares dos Ensinos Básico e Secundário ocorre, pela primeira vez, a partir do movimento da “Matemática Moderna”. Após a 2ª Grande Guerra, num mundo imperado pela tecnologia e economia em grande escala, os ideais deste movimento renovaram a matemática escolar que até aí se havia praticado. Será através da análise dos currículos actuais que constataremos o papel unificador da Teoria dos Conjuntos nas temáticas lec-cionadas, mas também, pela proposta de exercícios no âmbito do domínio “Lógica e Teo-ria dos Conjuntos 10” domínio em que esta teoria é abordada de forma mais estruturada. A Teoria Axiomática dos Conjuntos, eixo renovador da “Matemática Moderna”, assume após o início do século XX e turbulentas fases de afirmação, um papel primordial nos fun-damentos da Matemática. É Zermelo quem apresenta o primeiro sistema axiomático em que não se verificam os paradoxos da Teoria Ingénua dos Conjuntos. Considerando um subconjunto dos axiomas que constituem uma das actuais formalizações da Teoria Axio-mática dos Conjuntos formalizaremos conceitos matemáticos como o de relação, função e número. O que apresentamos, neste trabalho, é um exíguo fragmento do potencial des-ta teoria na fundamentação e unificação da Matemática.
- Uma abordagem do estudo da derivada de uma função com aplicação do GeoGebraPublication . Neves, Cátia Djamila dos Santos; Rodrigues, RuiA presente dissertação aborda uma análise teórica sobre a introdução de tecnologias na educação, e o uso de softwares educativos, principalmente no ensino e aprendizagem da matemática, disciplina essa que apresenta cada vez mais dificuldades. O professor de matemática depara-se com grandes desafios: como por exemplo ensinar um aluno que está inserido na era digital, pois para ele já não faz sentido o ensino tradicional. Na busca de novas estratégias para alcançar esses desafios, o professor de matemática encontra ao seu dispor o software GeoGebra, dinâmico e gratuito, que abrange três grandes áreas da matemática e que está tanto ao alcance do professor quanto dos alunos. Este software possui as características necessárias capazes de auxiliar o professor na busca de motivação tanto para ele como para os seus alunos. Um dos conteúdos que os alunos do ensino secundário se deparam com grandes dificuldades é o de Derivada de uma função, pois o aluno precisa de potencialidades para relacionar a visualização gráfica e análise algébrica. Com o intuito de analisar os impactos e contributos que o uso do GeoGebra traz ao estudo da Derivada de uma função, foi aplicado uma sequência de atividades, envolvendo os principais tópicos desse conteúdo a ser aplicado numa turma do 12º ano na sala de informática, da Escola Secundária Jorge Barbosa em Cabo Verde.
- Aprendizagens essenciais, metas curriculares e problemas de inversão em matemática APublication . Reis, Carlos José Cardoso dos; Araújo, JoãoDesde a introdução do décimo segundo ano, no ano letivo de 1980/81, que os programas de matemática sofreram algumas transformações. O programa de matemática via ensino vigorou desde 1980/81 até ao ano letivo de 1994/95. Era um programa bastante teórico sem qualquer recurso a tecnologias. A partir desse ano letivo até 2001/02 vigorou um programa que assentaria essencialmente nas novas tecnologias, passando a Lógica e a Teoria de conjuntos a serem conteúdos transversais no ensino da matemática. O raciocínio hipotético dedutivo passou a não ser essencial ao novo ensino da matemática, centrando-se mais o ensino na utilização da calculadora gráfica. Como consequência, os alunos que prosseguiam estudos tinham grandes dificuldades, principalmente nos cursos de engenharia e de matemática. Com a introdução do programa de 2001 pouco se alterou nesse aspeto. Assim, elaborou-se um programa com metas curriculares em 2014, no qual a Lógica e a Teoria de Conjuntos passassem a ser domínios independentes e lecionados no início do décimo ano, limitando-se a utilização da calculadora gráfica a domínios onde é essencial, como por exemplo, o estudo gráfico de funções e ao cálculo de alguns resultados numéricos (ex. cálculo de alguns valores numéricos de funções algébricas irracionais e funções transcendentes). A principal dificuldade dos docentes no cumprimento das metas era a sua extensão, daí o surgimento das aprendizagens essenciais. No entanto, devido à sua falta de clareza e aparente falta de elos de ligação, estas geraram alguma confusão, principalmente o facto de estar expresso que a Lógica passaria a ser um conteúdo transversal, não sendo verdade uma vez que a Lógica bivalente passou a ser aprendizagem essencial da disciplina de Filosofia. O principal objetivo desta dissertação é a elaboração de uma articulação cuidada das aprendizagens essenciais com as metas curriculares e propor exercícios de inversão de geometria analítica que se poderão estender a outros domínios. Tal advém do facto de nos cadernos de apoio do programa das metas de 2014 este tipo de exercícios serem inexistentes ou exíguos.
- Conceito de função: fundamentos e lecionaçãoPublication . Mota, Paula Rocha Peixoto Decq; Ferreira, Gilda; Engrácia, PatríciaO conceito de função é um dos conceitos mais importante na matemática. Por conseguinte, o estudo de funções é um tema central no currículo de matemática do ensino secundário em Portugal. Com as mudanças curriculares e programáticas que ocorreram no sistema educativo português ao longo dos tempos, o tema relativo ao estudo de funções teve abordagens diversas e perspetivas diferenciadas. Partindo de uma retrospetiva histórica, desde os anos 40 do século passado, e centrada nas diversas abordagens deste conteúdo específico ao longo dos anos, analisaremos os diversos programas, nos contextos educativos de cada época. Recentemente ocorreram várias mudanças num curto período temporal, que tiveram implicações quer nos conteúdos a abordar, quer nos objetivos a atingir. Neste contexto, procuraremos estabelecer comparações entre os mais recentes programas e documentos curriculares, à luz do perfil do aluno à saída da escolaridade obrigatória e com base na nossa própria experiência docente. Paralelamente a este trabalho, e no âmbito da teoria de conjuntos, apresentamos o conceito de função, dado como uma relação entre conjuntos baseada em determinadas condições, e analisamos propriedades e características das funções neste contexto.
- A lógica matemática nos curricula do ensino secundário em PortugalPublication . Valentim, Luís Manuel Goulart; Engrácia, Patrícia da Conceição Martins; Ferreira, GildaNesta dissertação far-se-á uma visita às reformas dos currículos de Matemática a partir das reformas do ensino que ocorreram na segunda metade do sec. XX e XXI no sentido de tentar perceber o papel que foi dado à Lógica Matemática nessa evolução. Será também dada atenção a influências externas determinantes nesse processo. De passagem debruçarnos-emos sobre o alargamento da escolaridade obrigatória e sobre a tentativa de abolição de uma escola elitista. Os principais vultos das reformas que promoveram e acreditaram nos benefícios da lecionação de Lógica Matemática serão mais detalhadamente abordados. Também se fará uma cuidadosa análise das posições contrárias, nomeadamente daqueles que, em várias épocas, mais criticaram o que achavam ser excesso de formalismo, raciocínio dedutivo e abordagens carregadas de teoremas e axiomas. Abordaremos muito resumidamente o nascimento da associação profissional de professores no último quartel do sec. XX e com mais detalhe a influência que este movimento associativo teve na definição de políticas educativas. Posteriormente far-se-á uma abordagem a aspetos científicos da Lógica restringindo esta abordagem à Lógica de Proposições e à Lógica de Predicados.
- Teoremas do valor médio e intermédioPublication . Reis, Valdir Delgado dos; Ferreira, Gilda; Dinis, BrunoO Teorema do valor médio e o Teorema do valor intermédio são importantes teoremas muito usados no Cálculo integral e diferencial e não só. Neste trabalho estamos muito interessados em perceber estes teoremas, estudá-los profundamente e perceber qual o contributo dos mesmos. Para isso, visto que estão diretamente interligados com continuidade, derivadas e integrais, tivemos necessidade de ir à origem no século XVII perceber como surgiu o Cálculo pelas mãos de Isaac Newton e Gottfried Leibniz para posteriormente compreender de forma mais integral o Teorema do valor médio e o Teorema do valor intermédio que se devem, respetivamente a Joseph Louis de Lagrange e Bernard Bolzano no século XVIII, generalizados por Michel Rolle, Augustin Cauchy e Karl Weierstrass. O contexto histórico é apresentado no Capítulo 2. No Capítulo 3 analisamos os currículos do ensino secundário em Portugal e em Cabo Verde analisando a forma como os Teoremas acima referidos são lecionados e qual o grau de profundidade do seu estudo. Para perceber os Teoremas do valor médio e intermédio é necessário ter o conhecimento de limites, continuidade e derivada. Por isso, nos capítulos 5 e 6 dedicamos os primeiros tópicos especialmente a esses temas com breves revisões sobre limites, continuidade, derivadas e integrais. O Teorema do valor intermédio (Teorema de Bolzano) nos interessa muito pelo seu corolário que garante que dada uma função f contínua e dois pontos a e b do seu domínio, se f(a).f(b) < 0 então existe c no domínio de f tal que f(c) = 0. Esse corolário não só nos diz que a equação f(x) = 0 tem pelo menos uma raíz, também nos diz que tal raíz se encontra no intervalo ]a,b[. Apresentamos também um caso particular do Teorema do valor intermédio que é o Teorema de ponto fixo. Um outro teorema com fortes ligações ao Teorema do valor intermédio é o Teorema de Weierstrass que estuda os limites máximos e mínimos numa função contínua. Este mesmo teorema é usado para provar o Teorema de Rolle. O Teorema do valor médio que diz que se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[ então existe um c pertencente a ]a ,b[ tal que f '(c) é igual à taxa de variação média da função em [a, b] também é estudado neste trabalho. Enfatizamos neste trabalho a importância das premissas dos teoremas, condições essas fundamentais para que se possam aplicar os teoremas. No caso do Teorema do valor médio a função deve ser contínua no intervalo [a, b] e deve ser diferenciável/derivável em ]a, b[ conceitos estudados nos capítulos 4 e 5. Não menos importante é tratado aqui o Teorema do valor médio com aplicação para integrais. Recorremos sempre ao software Geogebra para ilustrar cada um dos teoremas estudados tentando motivar as definições e as demonstrações. Também estudaremos as generalizações dos Teoremas do valor intermédio e médio.
- Encontros com o infinitoPublication . Rodrigues, Eunice Tatiana Calazans; Ferreira, Gilda; Gaspar, Jaime da GamaEsta dissertação estuda o infinito no âmbito do Ensino Básico e Secundário nos currículos de Cabo Verde e Portugal e ainda explora matematicamente alguns paradoxos com ele relacionados. Foi feito um estudo dos conteúdos onde a presença do infinito se faz notar, relativamente a todos os anos de escolaridade, desde o 1º ano ao 12º ano. Além disso, apresentamos etapas da construção de uma noção do infinito pelos próprios alunos, até se chegar ao uso de um símbolo próprio para o referir; apresentamos teoremas relacionados com o infinito e de como esses resultados e o próprio conceito de infinito funcionam como ferramentas na resolução de diferentes problemas na matemática. Os paradoxos estudados foram os seguintes: Paradoxo do Maior Número, Paradoxo do Interruptor da Luz, Paradoxo da Diagonal de um Quadrado, Paradoxo das Bolas num Saco, Paradoxo de Galileu, Paradoxo da Dízima de 1/3, Paradoxo do Hotel de Hilbert, Paradoxo de Zenão de Eleia, Paradoxo de Grandi e o Paradoxo da Seta. Para cada paradoxo foi feita uma exposição seguida de uma solução do ponto de vista matemático.