DISSERTAÇÕES DE MESTRADO E TESES DE DOUTORAMENTO
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- Uma abordagem do estudo da derivada de uma função com aplicação do GeoGebraPublication . Neves, Cátia Djamila dos Santos; Rodrigues, RuiA presente dissertação aborda uma análise teórica sobre a introdução de tecnologias na educação, e o uso de softwares educativos, principalmente no ensino e aprendizagem da matemática, disciplina essa que apresenta cada vez mais dificuldades. O professor de matemática depara-se com grandes desafios: como por exemplo ensinar um aluno que está inserido na era digital, pois para ele já não faz sentido o ensino tradicional. Na busca de novas estratégias para alcançar esses desafios, o professor de matemática encontra ao seu dispor o software GeoGebra, dinâmico e gratuito, que abrange três grandes áreas da matemática e que está tanto ao alcance do professor quanto dos alunos. Este software possui as características necessárias capazes de auxiliar o professor na busca de motivação tanto para ele como para os seus alunos. Um dos conteúdos que os alunos do ensino secundário se deparam com grandes dificuldades é o de Derivada de uma função, pois o aluno precisa de potencialidades para relacionar a visualização gráfica e análise algébrica. Com o intuito de analisar os impactos e contributos que o uso do GeoGebra traz ao estudo da Derivada de uma função, foi aplicado uma sequência de atividades, envolvendo os principais tópicos desse conteúdo a ser aplicado numa turma do 12º ano na sala de informática, da Escola Secundária Jorge Barbosa em Cabo Verde.
- Administração de tráfego telefônico: utilização de método numérico e simulação para estimar congestionamento e demanda de tráfego em sistemas de perda (loss systems)Publication . Sampaio, Paulo Celso; Nunes, Catarina S.Este trabalho tem como objetivo geral propor um modelo probabilístico que possibilite estimativas sobre congestionamento e demanda de tráfego telefônico e está dividido em duas partes. Na primeira parte, uma abordagem exploratória, é apresentado um método numérico e dois métodos de simulação: simulação estática (Monte Carlo) e simulação dinâmica (eventos discretos), para calcular congestionamento em um determinado período de observação, utilizando apenas dois dados de entrada: o tempo total de ocupação e a quantidade de meios disponíveis para escoamento de chamadas, através da Fórmula B de Erlang para sistemas de perda, que tem origem no processo estocástico de nascimento e morte “número de meios ocupados em determinado instante”. Os resultados de congestionamento obtidos por método numérico e simulação se apresentaram bastante próximos. Além da medida de congestionamento, são apresentadas outras medidas de tráfego que vão compor uma grade mínima de indicadores operacionais para a gestão do tráfego telefônico. Na segunda parte, de natureza confirmatória, são feitos testes de aderência sobre o processo de chegadas e sobre a distribuição do tempo de ocupação dos meios, que são dois pressupostos básicos de um sistema de perda (loss system) o qual consiste em um modelo de fila markoviano onde não há espera, ou seja, quando todos os meios estão ocupados uma nova tentativa é perdida. Nos testes de aderência, sobretudo com respeito ao processo de chegadas, não houve rejeição da hipótese inicial 𝐻0: “as chegadas / unidade de tempo tem distribuição de Poisson”. Já com respeito à distribuição dos tempos de ocupação, não foi observada uma aderência forte à distribuição Exponencial em pesquisas de rotas onde escoam chamadas de naturezas distintas, tais como as rotas de tráfego interurbano (de longa distância) onde trafegam chamadas interurbanas de fixo para fixo, sempre de maior duração, misturadas com chamadas que têm um telefone celular em uma das pontas, sendo estas em geral de menor duração
- Aprendizagens essenciais, metas curriculares e problemas de inversão em matemática APublication . Reis, Carlos José Cardoso dos; Araújo, JoãoDesde a introdução do décimo segundo ano, no ano letivo de 1980/81, que os programas de matemática sofreram algumas transformações. O programa de matemática via ensino vigorou desde 1980/81 até ao ano letivo de 1994/95. Era um programa bastante teórico sem qualquer recurso a tecnologias. A partir desse ano letivo até 2001/02 vigorou um programa que assentaria essencialmente nas novas tecnologias, passando a Lógica e a Teoria de conjuntos a serem conteúdos transversais no ensino da matemática. O raciocínio hipotético dedutivo passou a não ser essencial ao novo ensino da matemática, centrando-se mais o ensino na utilização da calculadora gráfica. Como consequência, os alunos que prosseguiam estudos tinham grandes dificuldades, principalmente nos cursos de engenharia e de matemática. Com a introdução do programa de 2001 pouco se alterou nesse aspeto. Assim, elaborou-se um programa com metas curriculares em 2014, no qual a Lógica e a Teoria de Conjuntos passassem a ser domínios independentes e lecionados no início do décimo ano, limitando-se a utilização da calculadora gráfica a domínios onde é essencial, como por exemplo, o estudo gráfico de funções e ao cálculo de alguns resultados numéricos (ex. cálculo de alguns valores numéricos de funções algébricas irracionais e funções transcendentes). A principal dificuldade dos docentes no cumprimento das metas era a sua extensão, daí o surgimento das aprendizagens essenciais. No entanto, devido à sua falta de clareza e aparente falta de elos de ligação, estas geraram alguma confusão, principalmente o facto de estar expresso que a Lógica passaria a ser um conteúdo transversal, não sendo verdade uma vez que a Lógica bivalente passou a ser aprendizagem essencial da disciplina de Filosofia. O principal objetivo desta dissertação é a elaboração de uma articulação cuidada das aprendizagens essenciais com as metas curriculares e propor exercícios de inversão de geometria analítica que se poderão estender a outros domínios. Tal advém do facto de nos cadernos de apoio do programa das metas de 2014 este tipo de exercícios serem inexistentes ou exíguos.
- Computing the intersection of two quadrics through projection and liftingPublication . Trocado, Alexandre Emanuel Batista da Silva; Gonzalez-Vega, Laureano; Araújo, JoãoO objetivo desta dissertação é o estudo da interseção de duas quádricas, do ponto de vista teórico através da demonstração de novos resultados e, do ponto de vista prático, implementando um algoritmo em dois softwares, o GeoGebra e o Maple. As quádricas são as mais simples superfícies curvas e determinar a sua interseção tem sido um problema de interessante resolução nas últimas décadas. Com o aumento do uso de computadores, a sua determinação e descrição ganhou uma maior relevância. Muitos problemas surgem frequentemente em aplicações de engenharia, modelação geométrica, projeto assistido por computador e robótica [2]. Um grande número de algoritmos foi proposto em [6], [23] e [2], baseados em técnicas aritméticas de ponto flutuante sensíveis a erros de arredondamento e com baixos tempos de execução em detrimento da precisão. Por outro lado, métodos simbólicos baseados na aritmética exata garantem a exatidão dos resultados, mas com tempos de execução altos. Portanto, a técnica a ser usada ao lidar com problemas de interseção deve ser cuidadosamente escolhida para obter tempos de execução aceitáveis. Durante vários anos deve-se a Levin ([27] e [28]) o único método geral conhecido para a determinação e representação da interseção de duas quádricas. Este método basea-se na análise do conjunto definido pela combinação linear das duas quádricas. No entanto, este método, por vezes, falha quando a curva de interseção é singular ou quando é usado um método de representação que recorre a ponto flutuante. Ao longo do tempo, este método proposto por Levin foi alvo de diferentes melhorias e recentemente Dupont e outros ([12], [13], [14]) propuseram um algoritmo que determina, recorrendo à análise de várias dezenas de casos no espaço projetivo, a interseção de duas quádricas. A performance deste algoritmo foi analisada em [26]. Nesta dissertação, o método utilizado recorre à projeção num plano da curva de interseção, à análise da topologia dessa curva e ao seu levantamento. Este trabalho inclui três artigos, um submetido para publicação (ver Capítulo 2) e dois outros publicados (ver Capítulos 3 e 4). Porquê o recurso ao GeoGebra e ao Maple? O GeoGebra é um software de geometria dinâmica que pode ser usado em todos os níveis de ensino que combina funcionalidades de Geometria 2D, 3D, álgebra, cálculo algébrico simbólico (CAS), representação gráfica, cálculo e estatística. A este software está associada uma larga comunidade de utilizadores espalhada pelo mundo, fazendo com que este seja considerado um dos softwares mais utilizados na educação ao nível do ensino básico e secundário. Por outro lado, o Maple é um poderosa ferramenta de cálculo algébrico simbólico. Esta ferramenta permite que estudantes, educadores e matemáticos consigam efetuar cálculo simbólico, numérico e construção de algoritmos, programáveis através de uma linguagem e comandos próprios, combinando assim, o poder dos algoritmos com as funcionalidades do CAS. De uma forma geral, o GeoGebra tem a vantagem de ser um software livre, de código aberto e de utilização simples que permite a interação com os objetos matemáticos, em diferentes perspetivas, de uma forma bastante intuitiva. No entanto, algumas das suas funcionalidades ainda possuem algumas limitações, em particular, a interseção de objetos 3D. Por outro lado, o Maple tem a desvantagem de ser um software comercial, por dificultar a utilização universal, e a interação com os objetos matemáticos não é tão intuitiva como o do GeoGebra, mas os seus packages permitem lidar com conteúdos matemáticos muito mais exigentes do que o GeoGebra. O primeiro artigo é dedicado à descrição do método, definindo uma estrutura teórica também usada nos dois artigos seguintes. Neste primeiro artigo, novos resultados são apresentados: a forma para determinar a expressão analítica da curva de projeção (cutcurve) que deve ser definida numa região plana delimitada pelas curvas silhueta (curvas de projeção dos limites de ambas quadricas); um método para determinar pontos singulares da curva de projeção e pontos comuns entre a cutcurve e as curvas de silhueta. O método algébrico foi definido recorrendo a resultantes e subresultantes, sendo o seu desempenho testado através de uma implementação no software Maple. Em alguns casos, foi possível determinar a exata parametrização da curva de interseção (envolvendo radicais se necessário), noutros o resultado (topologicamente correto) foi apresentado como o levantamento da discretização dos ramos da curva de projeção, uma vez que os seus pontos singulares estejam todos determinados. O principal objetivo do segundo artigo é criar uma ferramenta para determinar a curva de interseção de duas quadráticas. Algo que o GeoGebra permite apenas para casos muito simples. Neste artigo, é apresentada uma implementação do algoritmo descrito no primeiro artigo, no GeoGebra. Essa implementação é feita usando apenas comandos do GeoGebra que interagem com as janelas Álgebra, CAS, 2D e 3D. Para testar a eficiência e aplicabilidade desse algoritmo (e a sua implementação no GeoGebra), foram gerados aleatoriamente e testados 50 exemplos. Os casos analisados foram aqueles em que duas quadráticas são definidas por dois polinómios de grau 2, na variável z, o caso de uma quádrica é definida a partir de polinómio de grau 2 e de um polinómio de grau 1 e, finalmente, o caso em que as duas quadráticas são definidas por dois polinómios do grau 1 na variável z. No terceiro artigo, é apresentada a implementação no software Maple do método descrito e analisado no primeiro artigo. O comando intersectplot do Maple representa a curva de interseção, num espaço tridimensional, entre duas de superfícies bidimensionais. Neste artigo, mostra-se como essa implementação no Maple melhora os resultados produzidos pelo comando intersectplot quando se determina a curva de interseção entre duas quádricas em 3D. Esta abordagem não pretende classificar a curva de interseção entre as duas quadráticas consideradas. O principal objetivo é produzir de maneira muito direta uma descrição da curva de interseção que seja topologicamente correta. Esta é a razão pela qual permitimos que o levantamento da curva de projeção, quando possível, recorra ao uso de radicais ou contamos com a discretização dos ramos da curva de projeção (determinados exclusivamente pelos pontos determinados nessa curva). A implementação no GeoGebra mostrou-se funcional, mas demonstrou ser lenta nos casos em que exitiram muitos pontos singulares da curva da curva de projeção. Usando esse processo, pontos singulares que vêm da interseção tangencial não foram determinados e esses pontos podem ser produzidos pela função locus GeoGebra. Alguns problemas técnicos foram detectados pela falta de precisão do comando do locus do GeoGebra durante a representação da curva de projeção, o que não invalidou o funcionamento correto do algoritmo. Em alguns casos, o GeoGebra poderá produzir melhores resultados se for possível aumentar a precisão da funcionalidade locus. Em relação à implementação do algoritmo no Maple, seu desempenho foi analisado apenas nos casos mais complicados, nos quais as duas quadráticas são definidas por polinómios de segundo grau em z. Em alguns desses casos, foi possível obter a parametrização exata da curva de interseção mesmo com radicais. É possível destacar que alguns pontos não determinados pelo comando intersectplot do Maple foram calculados, usando o método descrito nesta dissertação. Num futuro próximo, o desempenho do algoritmo poderá ser otimizado e a sua implementação no Maple deverá considerar não apenas o caso geral, ou seja, considerar as duas quadrádicas definidas por polinómios de grau menor que 2 na variável z.
- Conjugation in abstract semigroupsPublication . Borralho, Maria de Fátima Lopes; Araújo, João; Kinyon, Michael K.On a semigroup S with a xed element c, we can de ne a new binary operation x c y := xcy for all x; y 2 S. Then (S; c) is a semigroup called the variant of S at c. Elements a; b 2 S are said to be primarily conjugate or just p-conjugate, if there exist x; y 2 S1 such that a = xy; b = yx. In groups this coincides with the usual conjugation, but in semigroups, it is not transitive in general. Finding classes of semigroups in which primary conjugacy is transitive is an interesting open problem. Kudryavtseva proved that transitivity holds for completely regular semigroups, and more recently Araújo et al. proved that transitivity also holds in the variants of completely regular semigroups. They did this by introducing a variety W of epigroups containing all completely regular semigroups and their variants, and proved that primary conjugacy is transitive in W. They posed the following problem: is primary conjugacy transitive in the variants of semigroups in W? In this thesis, we answer this a rmatively as part of a more general study of varieties of epigroups and their variants, and we show that for semigroups satisfying ∈ xy {yx, (xy)n} for some n > 1, primary conjugacy is also transitive.
- Distribuição de pontos fonte para o método das soluções fundamentais: aplicação a problemas de ondas acústicas em domínios exteriores em R3Publication . Costa, José Manuel Hipólito Firmino da; Serranho, PedroNeste trabalho pretende-se gerar uma distribuição de pontos fonte adequada para o método das soluções fundamentais (MFS - method of fundamental solutions) que otimize o condici-onamento do sistema linear associado à resolução numérica do problema exterior de difração de um campo acústico incidente por um obstáculo tridimensional impenetrável conhecido (𝐷). Considera-se que o obstáculo é um domínio estrela diferente da esfera unitária 𝑆2. Neste trabalho, consideramos a equação de Helmholtz exterior que modela a propagação e difração de ondas acústicas harmónicas no tempo. A aplicação do MFS a este problema gera um sistema linear que depende dos pontos fonte e de colocação considerados. O que se pre-tende é explorar a distribuição de pontos fonte de forma a que o condicionamento do sistema seja controlado, à medida que o número de pontos aumenta. As metodologias desenvolvidas para encontrar uma boa distribuição de pontos são a generalização para qualquer superfície estrela regular de trabalho anterior desenvolvido para a esfera unitária [1] e baseiam-se numa aplicação da interação de Coulomb, sendo exploradas e comparadas várias variantes. São ilustrados os resultados do método, tanto graficamente como através de métricas apropria-das, tanto na vertente da distribuição dos pontos fonte, como na sua influência para o condi-cionamento do sistema.
- Encontros com o infinitoPublication . Rodrigues, Eunice Tatiana Calazans; Ferreira, Gilda; Gaspar, Jaime da GamaEsta dissertação estuda o infinito no âmbito do Ensino Básico e Secundário nos currículos de Cabo Verde e Portugal e ainda explora matematicamente alguns paradoxos com ele relacionados. Foi feito um estudo dos conteúdos onde a presença do infinito se faz notar, relativamente a todos os anos de escolaridade, desde o 1º ano ao 12º ano. Além disso, apresentamos etapas da construção de uma noção do infinito pelos próprios alunos, até se chegar ao uso de um símbolo próprio para o referir; apresentamos teoremas relacionados com o infinito e de como esses resultados e o próprio conceito de infinito funcionam como ferramentas na resolução de diferentes problemas na matemática. Os paradoxos estudados foram os seguintes: Paradoxo do Maior Número, Paradoxo do Interruptor da Luz, Paradoxo da Diagonal de um Quadrado, Paradoxo das Bolas num Saco, Paradoxo de Galileu, Paradoxo da Dízima de 1/3, Paradoxo do Hotel de Hilbert, Paradoxo de Zenão de Eleia, Paradoxo de Grandi e o Paradoxo da Seta. Para cada paradoxo foi feita uma exposição seguida de uma solução do ponto de vista matemático.
- Estudo de modelos para previsão da produção da energia eólica na ilha de São Vicente, Cabo VerdePublication . Gomes, Fidel Jesus; Sousa, Nuno; Ramos, Maria do RosárioA produção da energia eólica é considerada uma alternativa prioritária como fonte de energia renovável à escala global. O conhecimento das condições físicas e meteorológicas dos locais e a obtenção de previsões a diversos prazos suportam a tomada de decisão. Com base em previsões, que se requerem fiáveis, é possível analisar a viabilidade económica, prever a produção de energia eólica, e estudar cenários relativos à gestão do sistema, os quais são afetados pela variabilidade natural de vários fatores aleatórios. O objetivo do estudo é utilizar métodos de modelação e previsão sobre uma variável importante para a produção de energia eólica, nomeadamente a velocidade do vento, na ilha de São Vicente, Cabo Verde, para obter estimativas futuras dessa variável e assim auxiliar a gestão do sistema de produção. São estudados modelos estatísticos para séries temporais de utilização ampla neste domínio e são referidos alguns modelos físicos. São utilizados dados relativos ao histórico da velocidade do vento. Mediante a aplicação de ferramentas de análise adequadas a estes dados, procurou-se obter estimativas fiáveis para as 24 horas do primeiro dia do ano de 2016, com base nos três anos anteriores. O reduzido número de anos bem como a existência de dados omissos conduziu a que o melhor modelo fosse o de sazonalidade simples, diária.
- Francy an interactive discrete mathematics framework for GAPPublication . Martins, Manuel Carlos Machado; Araújo, João; Mitchell, James D.; Pfeiffer, MarkusEm Julho de 2014, uma sessão entitulada A Proposal of scalable web framework for running GAP on the cloud foi apresentada no Workshop International em Algebra Computacional em Lisboa. Até ali, a utilizacão do GAP na Web era uma tarefa difícil, e esta apresentação trouxe algumas ideias novas na tentativa de resolver este problema. Foi então que surgiu um pequeno projeto chamado WebGAP. Em 2015, surge o projeto OpenDreamKit. O projecto OpenDreamKit junta universidades de toda a Europa e visa fortalecer a investigação através da disponibilização de uma plataforma colaborativa virtual. Um dos seus objetivos é enriquecer o ecossistema do Jupyter, fornecendo meios de reprodutibilidade na ciência computacional. Em 2017, a package de software para o GAP Jupyter Kernel é finalmente disponibilizada, tornando possível utilizar o GAP num Web Browser, de forma simples e segura. Foi então identificada a falta de uma package de software para o GAP que permitisse criar interfaces gráficas interactivas, que deu origem a uma package de software para o GAP chamada Francy. Francy é uma package de software para o GAP que permite criar interfaces gráficas interactivas facilitando a representação e exploração de estruturas de dados. Francy é uma package independente de qualquer linguagem de programação ou sistema operativo e permite que virtualmente qualquer outra package de software para o GAP seja transformada numa ferramenta interativa, dando representação gráfica a estruturas matemáticas na forma de grafos ou gráficos topológicos.
- A lógica matemática nos curricula do ensino secundário em PortugalPublication . Valentim, Luís Manuel Goulart; Engrácia, Patrícia da Conceição Martins; Ferreira, GildaNesta dissertação far-se-á uma visita às reformas dos currículos de Matemática a partir das reformas do ensino que ocorreram na segunda metade do sec. XX e XXI no sentido de tentar perceber o papel que foi dado à Lógica Matemática nessa evolução. Será também dada atenção a influências externas determinantes nesse processo. De passagem debruçarnos-emos sobre o alargamento da escolaridade obrigatória e sobre a tentativa de abolição de uma escola elitista. Os principais vultos das reformas que promoveram e acreditaram nos benefícios da lecionação de Lógica Matemática serão mais detalhadamente abordados. Também se fará uma cuidadosa análise das posições contrárias, nomeadamente daqueles que, em várias épocas, mais criticaram o que achavam ser excesso de formalismo, raciocínio dedutivo e abordagens carregadas de teoremas e axiomas. Abordaremos muito resumidamente o nascimento da associação profissional de professores no último quartel do sec. XX e com mais detalhe a influência que este movimento associativo teve na definição de políticas educativas. Posteriormente far-se-á uma abordagem a aspetos científicos da Lógica restringindo esta abordagem à Lógica de Proposições e à Lógica de Predicados.