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Movimento de partículas auto-propulsionadas. Modelo de Cucker-Smale e variantes: análise e simulações
| Name: | Description: | Size: | Format: | |
|---|---|---|---|---|
| 2.85 MB | Adobe PDF |
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Abstract(s)
Na secção 1, apresenta-se o modelo de Cucker-Smale. O modelo é de
tipo Newtoniano com a aceleração a depender da vontade dos agentes em
alinhar a sua velocidade com a dos outros agentes. O modelo é flexível pois
baseia-se numa função de comunicação entre os agentes, ψ, dependente
das suas posições relativas que podem assumir diversas formas. No caso
em análise contém um factor β que determina a persistência da interação à
distância. Definem-se comportamentos resultantes, nomeadamente alinhamento e formação de bando. Descrever o modelo relativamente ao centro de
massa permite alguma simplificação.
Na secção 2, apresentamos algumas ferramentas de caráter geral úteis
para a análise posterior. O teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições
para a existência de soluções únicas. Definem-se alguns tipos de órbitas e de
estabilidade. Introduz-se o teorema da estabilidade de Lyapunov e as funções
de Lyapunov.
Na secção 3, analisa-se o modelo aplicado a duas partículas em R.
Estabelece-se a condição para a formação de bando independentemente
dos valores iniciais de posição e velocidade. Esta sucede para β < 1,
quando a comunicação à distância é mais persistente. No caso contrário
estabelecem-se condições em função dos valores iniciais. Esboça-se a
mesma análise usando uma função do tipo de Lyapunov.
Na secção 4, faz-se uma análise a várias dimensões e para N pássaros.
Com uma escolha adequada de normas, ‖x‖∞ e ‖v‖∞, e de função de Lyapunov, os resultados são formalmente idênticos aos da secção precedente
quanto à existência de formação de bando, com as relações a passarem de
igualdades para desigualdades.
Na secção 5, apresentam-se algumas variantes. Alterando a análise, a
função de comunicação ou adaptando a estrutura do modelo obtém-se como
resultado a análise de múltiplos bandos, o impedimento de colisões, uma
maior adaptabilidade ou um condicionamento da formação de bandos.
Na secção 6, apresenta-se uma simulação passível de ser utilizada por
quem deseje observar alguns dos modelos em ação.
In section 1 we present the Cucker-Smale model. The model is of Newtonian type with acceleration depending on the agents’ will to align their velocity with that of other agents. The model is flexible because it relies on a communication function between agents, ψ , dependent on their relative positions which can take several forms. In the case under analysis, it contains a factor β factor which determines the persistence of the interaction at a distance. Resulting behaviors are defined, namely alignment and flocking. Describing the model in relation to the centre of mass allows for some simplification. In section 2, we present some general tools useful for the later analysis. The Picard-Lindelöf’s theorem establishes conditions for the existence of unique solutions. Some types of orbit and stability are defined. The Lyapunov stability theorem and functionals are introduced. Section 3 analyses the model applied to two particles in R. The condition for flocking is established regardless of the initial values of position and velocity. This happens for β < 1 when long distance communication is more persistent. Otherwise conditions are established depending on the initial values. The same analysis is outlined using a Lyapunov-type function. In section 4, an analysis is carried out in many dimensions and for N birds. With an appropriate choice of norms, ‖x‖∞ and ‖v‖∞, and of Lyapunov functional, the results are formally identical to those in the previous section as to the existence of flock formation, with relationships changing from equalities to inequalities. In section 5, some variants are presented. By changing the analysis, the communication function or adapting the model structure results in the analysis of multiple flocks, the avoidance of collisions, greater adaptability or the conditioning of flock formation. In section 6 we present a simulation that may be used by whomever wants to observe some of the models in action.
In section 1 we present the Cucker-Smale model. The model is of Newtonian type with acceleration depending on the agents’ will to align their velocity with that of other agents. The model is flexible because it relies on a communication function between agents, ψ , dependent on their relative positions which can take several forms. In the case under analysis, it contains a factor β factor which determines the persistence of the interaction at a distance. Resulting behaviors are defined, namely alignment and flocking. Describing the model in relation to the centre of mass allows for some simplification. In section 2, we present some general tools useful for the later analysis. The Picard-Lindelöf’s theorem establishes conditions for the existence of unique solutions. Some types of orbit and stability are defined. The Lyapunov stability theorem and functionals are introduced. Section 3 analyses the model applied to two particles in R. The condition for flocking is established regardless of the initial values of position and velocity. This happens for β < 1 when long distance communication is more persistent. Otherwise conditions are established depending on the initial values. The same analysis is outlined using a Lyapunov-type function. In section 4, an analysis is carried out in many dimensions and for N birds. With an appropriate choice of norms, ‖x‖∞ and ‖v‖∞, and of Lyapunov functional, the results are formally identical to those in the previous section as to the existence of flock formation, with relationships changing from equalities to inequalities. In section 5, some variants are presented. By changing the analysis, the communication function or adapting the model structure results in the analysis of multiple flocks, the avoidance of collisions, greater adaptability or the conditioning of flock formation. In section 6 we present a simulation that may be used by whomever wants to observe some of the models in action.
Description
Keywords
Modelo de Cucker-Smale Formação de bando Estabilidade Função de Lyapunov Agentes autónomos Partículas auto-propulsionadas Cucker-Smale model Flocking Stability Lyapunov functional Autonomous agents Self-propelled particles
Pedagogical Context
Citation
André, Ricardo J. R. - Movimento de partículas auto-propulsionadas [Em linha]. Modelo de Cucker-Smale e variantes: análise e simulações. [S.l.]: [s.n.], [2024]. 95 p.