Browsing by Author "Reis, Valdir Delgado dos"
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- Teoremas do valor médio e intermédioPublication . Reis, Valdir Delgado dos; Ferreira, Gilda; Dinis, BrunoO Teorema do valor médio e o Teorema do valor intermédio são importantes teoremas muito usados no Cálculo integral e diferencial e não só. Neste trabalho estamos muito interessados em perceber estes teoremas, estudá-los profundamente e perceber qual o contributo dos mesmos. Para isso, visto que estão diretamente interligados com continuidade, derivadas e integrais, tivemos necessidade de ir à origem no século XVII perceber como surgiu o Cálculo pelas mãos de Isaac Newton e Gottfried Leibniz para posteriormente compreender de forma mais integral o Teorema do valor médio e o Teorema do valor intermédio que se devem, respetivamente a Joseph Louis de Lagrange e Bernard Bolzano no século XVIII, generalizados por Michel Rolle, Augustin Cauchy e Karl Weierstrass. O contexto histórico é apresentado no Capítulo 2. No Capítulo 3 analisamos os currículos do ensino secundário em Portugal e em Cabo Verde analisando a forma como os Teoremas acima referidos são lecionados e qual o grau de profundidade do seu estudo. Para perceber os Teoremas do valor médio e intermédio é necessário ter o conhecimento de limites, continuidade e derivada. Por isso, nos capítulos 5 e 6 dedicamos os primeiros tópicos especialmente a esses temas com breves revisões sobre limites, continuidade, derivadas e integrais. O Teorema do valor intermédio (Teorema de Bolzano) nos interessa muito pelo seu corolário que garante que dada uma função f contínua e dois pontos a e b do seu domínio, se f(a).f(b) < 0 então existe c no domínio de f tal que f(c) = 0. Esse corolário não só nos diz que a equação f(x) = 0 tem pelo menos uma raíz, também nos diz que tal raíz se encontra no intervalo ]a,b[. Apresentamos também um caso particular do Teorema do valor intermédio que é o Teorema de ponto fixo. Um outro teorema com fortes ligações ao Teorema do valor intermédio é o Teorema de Weierstrass que estuda os limites máximos e mínimos numa função contínua. Este mesmo teorema é usado para provar o Teorema de Rolle. O Teorema do valor médio que diz que se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[ então existe um c pertencente a ]a ,b[ tal que f '(c) é igual à taxa de variação média da função em [a, b] também é estudado neste trabalho. Enfatizamos neste trabalho a importância das premissas dos teoremas, condições essas fundamentais para que se possam aplicar os teoremas. No caso do Teorema do valor médio a função deve ser contínua no intervalo [a, b] e deve ser diferenciável/derivável em ]a, b[ conceitos estudados nos capítulos 4 e 5. Não menos importante é tratado aqui o Teorema do valor médio com aplicação para integrais. Recorremos sempre ao software Geogebra para ilustrar cada um dos teoremas estudados tentando motivar as definições e as demonstrações. Também estudaremos as generalizações dos Teoremas do valor intermédio e médio.