Matemática Aplicada e Modelação | Applied Mathematics and Modelling
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Percorrer Matemática Aplicada e Modelação | Applied Mathematics and Modelling por Objetivos de Desenvolvimento Sustentável (ODS) "04:Educação de Qualidade"
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- Análise e avaliação do risco de contágio da COVID-19 em MoçambiquePublication . Taero, Élio José; Oliveira, Teresa A.; Teodoro, Maria Filomena AlvesA COVID-19 é uma doença viral com impacto relevante para saúde pública de um País, com destaque para os sistemas de saúde devido a sua rápida propagação. Para a compreensão da forma de transmissão e a análise da distribuição espacial dos casos da COVID-19, são descritos nesta tese um conjuntos de modelos matemáticos e estatísticos, que são usualmente mais aplicados na modelação de doenças infeciosas. São ainda apresentados e descritos, vários métodos e técnicas úteis para avaliação do risco na epidemiologia. A tese avalia e estima o risco de contágio da COVID-19 em Moçambique, a partir da metodologia mapeamento de doenças, recorrendo a aplicação dos modelos ICAR, BYM , BYM2 e Leroux, que foram formulados baseando-se na estrutura bayesiana hierárquica. Estes modelos foram propostos para capturar a dependência espacial entre as regiões vizinhas, permitindo uma estimativa mais precisa do risco relativo. Os modelos ICAR, BYM , BYM2 e Leroux, foram ajustados com o pacote R-INLA e para seleção do modelo aplicado para estimar o risco relativo de contágio da COVID-19 foram aplicados os critérios de Informação do Desvio e de Watanabe-Akaike, para além do Logaritmo da Pseudo-Verossimilhança Marginal e a visualização gráfica. São também aplicados, neste trabalho, os testes para deteção de agrupamentos da doença. Ao concluir a tese, ficou evidente que em termos comparativos a região Sul de Moçambique apresentou um risco relativo de contágio da COVID-19 mais alto, com destaque para Cidade de Maputo que apresentou um valor bastante elevado.
- Análise estocástica de séries temporaisPublication . Paula, Francisco José Andias; Nunes, Catarina S.; Ramos, Maria do RosárioAs séries temporais podem ser definidas como conjuntos de observações indexadas no tempo, sendo outputs de sistemas dinâmicos, com caráter probabilístico modelável por processos estocásticos. Nesta tese é proposta a hipótese de que localmente cada nova observação pode ser decomposta em dois tipos de movimentos relativamente ao valor da observação precedente, sendo o primeiro, simplesmente, aumentar ou diminuir e o segundo a amplitude desse movimento. Com base nesse pressuposto, é demonstrado que uma série temporal pode ser transformada em duas séries temporais de espaços de estados {−1,0,1} e ]0,1[. Sendo essas duas séries modeladas com recurso a processos estocásticos de Poisson e Ornstein- Uhlenbeck, respetivamente. Esta é a base para o desenvolvimento de um novo método para a previsão de séries temporais. O novo método foi aplicado a oito exemplos de conjuntos de dados de áreas diferentes e com características muito diversificadas, no sentido de explorar a sua aplicabilidade a uma ampla abrangência de séries temporais. Num primeiro ensaio, foi analisado o desempenho do método quando aplicado a uma série temporal financeira, sendo os resultados comparados com os dos métodos GARCH e ARIMA. Nas restantes aplicações, o desempenho do método foi comparado apenas com o método clássico linear ARIMA. Os resultados obtidos na modelação e previsão das diferentes séries e etapas de desenvolvimento, conseguiram superar ou ficar muito próximos dos resultados obtidos pelo método ARIMA. O método proposto neste trabalho, denominado método FP, pretende ser aplicável a um conjunto de dados indexados ao tempo, não estando vinculado a uma estrutura de autocorrelação específica, necessária para o sucesso das previsões em outros modelos, como os modelos lineares, nem exige intervalos de tempo constantes entre as observações.
- Missing data handling in health sciences a neuro-fuzzy methods approachPublication . Pereira, José António Ferreira Lobo; Oliveira, Teresa A.; Carvalho, Davide Maurício Costa; Mubayi, AnujOs levantamentos epidemiológicos de saúde periodontal exigem um tempo de exame extenso quando realizados através de avaliações completas da boca, o que sobrecarrega participantes e examinadores. Para aliviar isso, utiliza-se exames parciais da boca, omitindo intencionalmente alguns dados. No entanto, esses métodos podem levar a estimativas enviesadas de prevalência. Esta dissertação aborda essa questão aplicando métodos IA-fuzzy para imputação de dados ausentes em levantamentos epidemiológicos com avaliações unilaterais das arcadas dentárias. Usando técnicas avançadas de machine learning, esta investigação visa melhorar a predição de valores omitidos intencionalmente, garantindo estimativas de prevalência não enviesadas. A revisão da literatura destaca a complexidade da periodontite e as limitações dos métodos tradicionais de imputação de dados na gestão de dados ausentes. O estudo utiliza dados de exames periodontais do National Health and Nutrition Examination Survey (NHANES) e emprega métodos estatísticos avançados para avaliar a simetria dentária. O método de imputação Mãe-Filha (MoDau), baseado em modelos XGBoost, foi desenvolvido para aprimorar a qualidade dos dados imputados. Os resultados indicam que a função de medição de simetria (SM) avalia eficazmente a simetria da profundidade de sondagem periodontal (pocket probing depth, PPD), mostrando forte correlação com as avaliações profissionais. O método Modau exibe uma precisão preditiva robusta, especialmente para categorias mais altas de PPD, embora apresente discrepâncias nos valores mais baixos. Este estudo ressalta a utilidade clínica e epidemiológica da função SM e o potencial dos métodos Artificial Inteligence-fuzzy (AI-fuzzy) para melhorar a imputação de dados. Pesquisas futuras devem explorar a aplicação desses métodos em outras áreas odontológicas e integrar técnicas adicionais de inteligência artificial (IA) para refinar ainda mais os modelos preditivos.
- Modelação da série de circulação monetária em MoçambiquePublication . Arone, Samuel Garicai; Nunes, Catarina S.; Grilo, Luís M.Em sentido lato, as notas e moedas em circulação representam o numerário fora da caixa do banco central, trata-se de disponibilidades em poder do público e em caixas dos bancos comerciais. No sentido restrito, notas e moedas em circulação excluem as disponibilidades em caixas dos bancos comerciais. Independentemente da abordagem, trata-se do numerário fora da caixa do banco central. Sob ponto de vista de gestão de liquidez, o banco central deve garantir que, o volume e o valor de notas e moedas em circulação satisfaçam as necessidades diárias da economia. A teoria económica não prescreve medidas que o banco central deve adoptar para determinar com exactidão o montante a colocar em circulação, porque a procura por notas e moedas metálicas depende da preferência por liquidez dos usuários (agentes económicos e público em geral). Mesmo assim, o banco central deve desenhar modelos e encontrar mecanismos que permitam prever com certa razoabilidade a liquidez na economia e identi car os padrões e as fontes de variabilidade da série de circulação monetária. Nesta tese recorre-se a metodologia de Box-Jenkins e ao modelo de função de transfer ência, considerando as séries do produto interno bruto, da in ação e da dolarização da economia como variáveis independentes, para encontrar o modelo que melhor ajusta a estimação e previsão da série de circulação monetária em Moçambique. De igual forma, recorre-se as técnicas do controlo estatístico de qualidade para detectar as fontes de variabilidade desta série, através da aplicação de grá cos de controlo. Usando uma amostra de valores mensais, de 2005 a 2022, os resultados da pesquisa mostram que a série de circulação monetária em Moçambique se ajusta melhor ao modelo univariado SARIMA (1, 1, 0)(1, 1, 0)12. No que concerne às fontes de variabilidade da circulação monetária, os resultados extraídos dos grá cos de controlo indicam que no período em referência, esta série teve momentos em que evoluiu fora dos padrões de controlo de qualidade estatístico, tendo sido afectada por factores aleatórios e não aleatórios.
- Modelação de dados espaço-temporais da COVID-19 em Portugal com desagregação temporal: uma abordagem estatística e epidemiológicaPublication . Leal, Maria da Conceição Dias; Oliveira, Teresa A.; Oliveira, Amílcar; Mukherjee, AmitavaA monitorização estatística analisa dados recolhidos ao longo do tempo e/ou espaço, para detetar e quantificar alterações, anomalias ou tendências nos processos subjacentes. Esta tese desenvolve e aplica métodos estatísticos para monitorizar dados espaço-temporais, considerando as suas especificidades e desafios. Usando como caso prático a COVID-19 em concelhos de Portugal Continental, o trabalho visa compreender a dinâmica de disseminação de uma epidemia, apoiar a tomada de decisão em Saúde Pública e contribuir com metodologias inovadoras em estatística. A tese propõe três contributos principais: 1) desagregação temporal de dados, em que se obtém dados mais detalhados e confiáveis a partir de dados de diferentes fontes que os recolhem e tratam com critérios distintos, recorrendo a algoritmos que permitem infundir informação relevante do domínio; 2) modelação de dados, considerando efeitos espaciais, temporais e de interação 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 × 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜, com recurso ao ajuste de modelos hierárquicos bayesianos aos dados observados e desagregados, para análise e deteção de padrões temporais e espaciais; e 3) análise e deteção de fatores de risco e avaliação do impacto de eventos públicos e de covariáveis meteorológicas na disseminação de uma epidemia/pandemia, usando modelos lineares generalizados, visualização e testes de hipóteses. A tese explora dois casos relevantes com dados de COVID-19 de concelhos de Portugal Continental, criando formas mais sólidas de análise e monitorização dos dados. A tese demonstra como a matemática e a epidemiologia se unem para enfrentar desafios da humanidade, como a pandemia COVID-19, avançando o conhecimento científico e melhorando as políticas públicas de saúde e outros processos.
- Modelação e previsão da procura turística na Ilha do Sal – Cabo Verde: modelo SARIMA versus rede neuronal artificialPublication . Neves, Gilberto A.; Fernandes, Paula Odete; Nunes, Catarina S.O objetivo principal deste trabalho é a análise da série temporal "Número de dormidas mensais nos estabelecimentos turísticos da ilha do Sal - Cabo Verde” entre 2000 e 2018 e demonstrar que, no quadro dos modelos quantitativos, estimativas e previsões fiáveis para o comportamento da procura turística são preferencialmente obtidas com modelos estatísticos de previsão adequadamente especificados e testados, e com redes neuronais artificiais que permitem prever um passo à frente. Para tal, iniciou-se a investigação com uma revisão da literatura e análise de dados que possibilitou conhecer: a dinâmica do turismo mundial; o mercado emissor europeu; o desenvolvimento turístico da ilha; as características da série temporal; modelos de previsão e tendências da procura turística. Seguidamente implementaram-se diferentes estruturas de modelos de previsão. Os resultados obtidos mostram que, a nível individual, a ilha se encontra na fase de Desenvolvimento; a nível de competitividade, a ilha está estagnada dentro da fase de Exploração; e que o seu Índice de Desenvolvimento Turístico deverá crescer em 48% para entrar na fase de Envolvimento. Quanto aos modelos de previsão, obtiveram-se: o modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12], com uma acurácia medida pelo MAPE igual a 6,77%; o modelo de redes neuronais do tipo RNAR(12,1,7)[12], com um erro de 5,61% e o método de Holt-Winters que produziu um modelo com uma precisão de 7,94%. Todos esses modelos têm alta precisão, com destaque para a rede neuronal, apesar dos dados da série não estarem adaptados à Lei de Benford. Porém, o proposto Algoritmo de Atribuição do Erro, traz melhorias ao resultado do modelo SARIMA, com uma precisão de 4,98%. Esta tese pretendeu contribuir para mostrar o potencial dos modelos estatísticos de previsão e da aplicação das redes neuronais artificiais para a previsão do número de dormidas mensais na ilha do Sal. Também se avalia a precisão das previsões de cada modelo e compara os seus diferentes desempenhos.
- Modelling and estimation of systemic risk: new perspectivesPublication . Basilio, Jorge Manuel Lopes; Oliveira, Amílcar; Mahmoudvand, RahimA Análise de Risco tem-se assumido como um tema de investigação recorrente, atraindo a atenção dos investigadores de forma consistente. Mais recentemente e motivado pelo último colapso do sistema financeiro, o risco sistémico tem sido alvo de especial atenção por parte da comunidade académica, tendo-se tornado numa ferramenta amplamente aplicada para identificar a contribuição para o risco sistémico de instituições financeiras. Esta tese é baseada no trabalho de investigação de Adrian and Brunnermeier (2011), onde foi introduzirdo o conceito de CoVaR e ∆CoV aR de uma instituição financeira, bem como apresentada uma metodologia para estimar o ∆CoV aR usando dados públicos do mercado financeiro . Nesta tese serão discutidos os pressupostos da metodologia original, analisadas as características de cada medida de risco utilizada, e discutidas alternativas para medir a contribuição individual de uma entidade para o risco sistémico do sistema financeiro Benoit et al. (2017). Será proposta uma nova metodologia baseada em funções de cópula de modo a evidenciar o papel da dependência e da dependência nos extremos entre o retorno da instituição financeira e o retorno do sistema financeiro. Iremos destacar as diferenças entre a qualidade do ajustamento nas abas da distribuição dos retornos financeiros assim como o ajustamento para toda a distribuição.
- Spectral approach for improving the Ill-conditioning of the method of fundamental solutionsPublication . Calunga, Hernani Matamba Kujijila; Serranho, Pedro; Antunes, PedroO método das soluções fundamentais, em inglês, method of fundamental solutions (MFS), é um método para solução de problemas de valor de fronteira de equações diferenciais com derivadas parciais. O método pertence à classe dos métodos que não necessitam de discretização do domínio, evitando, dessa forma, os desafios que podem surgir com a discretização de domínios complexos, como ocorre nos métodos que requerem essa etapa. O MFS busca a solução do problema de valor de fronteira na forma de uma combinação linear de soluções fundamentais da equação diferencial com derivadas parciais, com as singularidades da solução fundamental localizadas fora do domínio de definição do problema. Além de dispensar a discretização do domínio, outra vantagem que o torna um método atrativo para os pesquisadores é a facilidade de implementação numérica e sua excelente convergência à solução, que, em alguns casos, é de carácter exponencial [17, 31]. No entanto, a convergência do método é frequentemente comprometida devido ao mau condicionamento do sistema linear resultante da aplicação do método. Esse mau condicionamento decorre de vários fatores, sendo um deles a localização das singularidades, que, em princípio, podem ser colocadas em qualquer ponto do plano ou espaço, dependendo do domínio de definição do problema, excepto no seu interior e na fronteira do domínio. Como o mau condicionamento pode gerar instabilidade numérica e degradar a precisao da solução, é recomendável o seu tratamento antes da resolução do sistema linear. Para o efeito existem várias abordagens para mitigar esse problema, cada uma com suas vantagens e limitações, o que faz desse tema um campo de pesquisa ainda ativo. Esta tese trata do problema do mau condicionamento do método das soluções fundamentais aplicado a dois problemas concretos de valor de fronteira. Ela começa com uma apresentação das noções teóricas básicas sobre o MFS, sua formulação numérica, bem como uma descrição das diferentes estratégias actualmente utilizadas para reduzir o mau condicionamento. Como já mencionado, apesar da existência de diversas abordagens para mitigar o mau condicionamento, novas técnicas têm sido sugeridas como resultado de pesquisas recentes. Uma delas é uma técnica que combina o método das soluções fundamentais com a decomposição em valores singulares (SVD), conhecida como MFS-SVD, introduzida em [12], com o objectivo de melhorar o mau condicionamento do problema de valor de fronteira da equação de Laplace a duas dimensões. Considerando que, na formulação do MFS, as funções de base formam uma base que gera o espaço funcional das aproximações do problema, e podendo esse mesmo espaço ser descrito por outras bases, o MFS-SVD explora exactamente esta ideia, propondo uma mudança de base para obter um novo conjunto de funções de base, mas que resulte em um sistema linear melhor condicionado. A abordagem utilizada em [12] emprega coordenadas polares e polinómios harmónicos para definir a nova base, partindo de uma representação espectral da solução fundamental, e utiliza a decomposição em valores singulares para realizar a mudança de base. As ilustrações apresentadas em [12] mostram que o método é extremamente eficaz no caso da equação de Laplace a duas dimensões, apresentando números de condição de ordem O(1). No entanto, a afirmação de que o MFS-SVD funcionaria para a generalidade dos problemas de valor de fronteira carece de verificação caso a caso. Nesse sentido, nesta tese estendemos a aplicação do MFS-SVD para dois problemas de valor de fronteira no plano: O problema da equação de Helmholtz e o problema biharmónico. Para o problema da equação de Helmholtz, ilustramos neste trabalho que o MFS-SVD também é muito eficaz no tratamento do mau condicionamento quando o domínio considerado é o disco, utilizando, nesse caso, coordenadas polares e funções de Bessel como funções de base. Para qualquer outro domínio diferente do disco, mostramos que algumas melhorias são observadas, mas, quando aumentamos o número de funções de base, volta-se a observar um crescimento do número de condição para níveis semelhantes aos do caso clássico. Ou seja, a mudança de base, nestes casos, não garante a ortogonalidade das novas funções de base como ocorre no caso do disco, sugerindo a necessidade de se utilizar um sistema de coordenadas curvilíneo adaptado ao domínio em estudo para representar a expansão do teorema da adição. Para ilustrar/verificar essa hipótese, sugerimos nesta tese a resolução de problemas com domínio delimitado por uma elipse ou outros próximos à elipse, utilizando a expansão da solução fundamental em coordenadas elípticas, com funções de Mathieu como funções de base. Com essa abordagem, o condicionamento do sistema linear do MFS melhora consideravelmente para os casos com domínio elíptico e para domínios que apresentem um alongamento em uma determinada direcção, como por exemplo, domínios limitados do tipo amendoím. Essa abordagem com funções de Mathieu foi desafiadora, pois não existe implementação oficial dessas funções no software Matlab. Por isso, recorremos a ferramentas de terceiros [32, 33], que se mostraram ineficientes, pois garantem apenas precisão simples. Como, para as nossas ilustrações, necessitávamos maior precisão, dada a natureza dos problemas que estamos resolvendo, foi feita uma adaptação ao código de Cojocaru utilizando ideias provenientes de [21], de forma a garantir o cálculo das funções de Mathieu com maior precisão. A alteração mostrou-se extremamente eficaz sendo, portanto, um outro aspecto relevante desta pesquisa. O código alterado poderá servir de base para a utilização das funções de Mathieu em outros contextos e problemas, algo que, actualmente provavelmente não ocorre, pois os códigos existentes apresentam baixa precisão devido aos erros subtractivos frequentemente associados à elas. A equação biharmónica é abordada nesta tese por se tratar de uma equação diferencial de ordem superior, mais especificamente, de quarta ordem, e por ser um caso que apresenta diversas aproximações numéricas bem estabelecidas na literatura para a obtenção da solução via MFS. A busca pela solução numérica utilizando o MFS-SVD para este problema serve como ilustração da metodologia geral a ser seguida na resolução de problemas de valor de fronteira (BVPs) mais abrangentes. Esta abordagem com o problema biharmónico é relevante pois para os casos de equações de segunda ordem, como as de Laplace e Helmholtz, a aplicação do MFSSVD sugeria que a decomposição em valores singulares, SVD, deveria ser aplicada ao fator que contém o mau condicionamento, após a decomposição da matriz completa do sistema linear em fatores que dependem separadamente dos pontos de avaliação e dos pontos de observação. Ora, uma abordagem nesse sentido para um problema de quarta ordem, como o biharmónico, conduz a uma decomposição contendo matrizes singulares e, portanto, mal condicionadas, o que é ilustrado na tese. Portanto, ilustramos neste trabalho o procedimento a ser seguido para problemas de ordem superior, que reduz os casos Laplace e Helmholtz como casos particulares. Assim, este trabalho contribui para a formalização de um algoritmo aplicável à diferentes problemas de valor de fronteira, com as devidas adaptações. Como mencionamos anteriormente, o facto de existirem diferentes representações numéricas para a aproximação da solução numérica do problema biharmónico é outra razão que nos levou a seleccioná-lo como um caso de implementação do MFS-SVD, pois pretendíamos ilustrar também que a performance do MFSSVD é independente da representação usada para a obtenção da solução numérica. Portanto esta tese ilustra que o MFS-SVD introduzido originalmente para o melhoramento do mau condicionamento da matriz do sistema linear do MFS da equação de Laplace, pode ser extendido aos problemas de valor de fronteira no plano, para a equação de Helmholtz e para a equação biharmónica. A relevância do que se mostra na tese reside no facto de que a abordagem tal como sugerida em [12] não se aplicar para a globalidade dos casos, sendo necessário as alterações sugeridas neste trabalho para se conseguir as melhorias no mau condicionamento do sistema linear do MFS, particularmente para problemas de ordem superior. Ilustramos também, que por vezes a melhoria do mau condicionamento poderá ser conseguida apenas utilizando um sistema de coordenadas curvilíneo adaptado ao domínio, e que a localização dos pontos de observação não é determinante para o mau condicionamento se a base for adequada.