Breda, Ana Maria Reis d'AzevedoAraújo, JoãoSantos, José Manuel dos Santos dos2019-07-022022-05-102019-05-10Santos, José Manuel dos Santos dos - Spherical tilings, GeoGebra contributions to their combinatorial and geometrical classification [Em linha]. [S.l.]: [s.n.], 2019. 103 p.http://hdl.handle.net/10400.2/8385Tese de Doutoramento em Álgebra Computacional em associação com a Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, apresentada à Universidade AbertaO objectivo desta tese é de dar um contributo à classificação de pavimentações da esfera, revelando e caracterizando geométrica e combinatoriamente novas famílias. Para realizar este trabalho, partimos do conhecimento teórico existente neste tema e recorremos ao software GeoGebra, usando as suas funcionalidades de geometria interativa e de cálculo algébrico e simbólico, contruindo novas ferramentas especificamente concebidas para a realização deste estudo. O trabalho de investigação desenvolvido integra cinco artigos, dois publicados (ver Capítulos 3 e 4), dois aceites (ver Capítulos 2 e 6) e um submetido (ver Capítulo 5), sendo o primeiro capítulo reservado à introdução. No segundo capítulo apresentamos as ferramentas criadas no GeoGebra, a aplicação dessas ferramentas para obtenção de pavimentações esféricas conhecidas, apresentando ainda ilustrações de alguns exemplos de novas pavimentações da esfera. No capítulo seguinte, uma nova família de pavimentações da esfera, Bp/q ! , p,q ∈" , é apresentada. Esta família contém pavimentações antiprismáticas, obtidas pela ação global de um subgrupo de isometrias esféricas. No Capítulo 4, estudamos a família monoédrica de pavimentações da esfera, P(C,ρ ) , constituída por quatro pentágonos esféricos congruentes não convexos. Neste caso, a família é obtida por uma ação local de um subgrupo de isometrias esféricas aplicadas a um conjunto de arcos esféricos, C , concorrentes em um ponto. No Capítulo 5, são apresentadas propriedades das duas famílias de pavimentações esféricas, P* (C1,τ * ) e P** (C2 ,τ ** ) , correspondentes a pavimentações diédricas por pentágonos esféricos. As características topológicas e combinatórias de cada elemento dessas famílias são também apresentadas. No capítulo seguinte, exploramos as novas pavimentações monoédricas da esfera, H(C3 ,τ ) , por seis hexágonos não convexos e uma nova família de pavimentações monoédricas por seis pentágonos esféricos, P(SC,θ1,θ2 ) , que surge como um caso degenerado associado à família H(C,0) . Finalmente, são expostas algumas conclusões do trabalho desenvolvido e são apresentadas algumas considerações sobre o uso do GeoGebra para o desenvolvimento da investigação em pavimentações esféricas.The goal of this dissertation is to advance the classification of classes of spherical tilings: we find new ones and characterise new families. To do that we rely on theoretical considerations along with the interactive geometry, algebra, statistics and calculus software GeoGebra to which we produced new tools. This research work comprises five papers, two published (see Chapters 3 and 4), two accepted (see Chapters 2 and 6) and one is submitted (see Chapter 5), being the chapter one reserved to the introduction. In the second chapter we introduce the tools created in GeoGebra, the application of these tools to obtain some well known spherical tilings and provide illustrations of some new spherical tilings. In the following chapter, a new family of tilings of the sphere, B dp q , p, q 2 N, are presented. This family contains the well known antiprismatic tilings, which is identified and obtained by a global action of a subgroup of spherical isometries. In Chapter 4, we study a monohedral family of tilings of the sphere, P(C,⇢), formed by four non-convex congruent spherical pentagons. In this case, the family is obtained by a local action of a subgroup of spherical isometries applied to C, a set of spherical arcs concurrent in a point. In Chapter 5, the properties of the two families of spherical tilings, P⇤ (C1,⌧⇤) and P⇤⇤(C2,⌧⇤⇤), corresponding to dihedral tilings by pentagons are presented. The topological and combinatorial characterizations of each element of these families are given. In the folowing chapter we explore some new monohedral spherical tilings, H(C3,⌧), by six non-convex hexagons, and a new family of monohedral tiling by six spherical pentagons, P(SC,✓1,✓2), which arises as a degenerated case associated to the family H(C,0). Finally, some conclusions driven from the work developed so far are presented and some considerations about the potential use of GeoGebra for research in this area will be given.engGeometria esféricaPavimentação esféricaGeoGebraSpherical geometrySpherical tilingsGeoGebradoctoral thesis101603495