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Ferreira, Gilda Dinis, Bruno Reis, Valdir Delgado dos 2020-10-15T13:03:34Z 2020-10-15T13:03:34Z 2020-09-25 2020-10-15 Reis, Valdir Delgado dos - Teoremas do valor médio e intermédio [Em linha]. Lisboa: [s.n.], 2020. 130 p. http://hdl.handle.net/10400.2/10071 urn:tid:202529592 202529592 O Teorema do valor médio e o Teorema do valor intermédio são importantes teoremas muito usados no Cálculo integral e diferencial e não só. Neste trabalho estamos muito interessados em perceber estes teoremas, estudá-los profundamente e perceber qual o contributo dos mesmos. Para isso, visto que estão diretamente interligados com continuidade, derivadas e integrais, tivemos necessidade de ir à origem no século XVII perceber como surgiu o Cálculo pelas mãos de Isaac Newton e Gottfried Leibniz para posteriormente compreender de forma mais integral o Teorema do valor médio e o Teorema do valor intermédio que se devem, respetivamente a Joseph Louis de Lagrange e Bernard Bolzano no século XVIII, generalizados por Michel Rolle, Augustin Cauchy e Karl Weierstrass. O contexto histórico é apresentado no Capítulo 2. No Capítulo 3 analisamos os currículos do ensino secundário em Portugal e em Cabo Verde analisando a forma como os Teoremas acima referidos são lecionados e qual o grau de profundidade do seu estudo. Para perceber os Teoremas do valor médio e intermédio é necessário ter o conhecimento de limites, continuidade e derivada. Por isso, nos capítulos 5 e 6 dedicamos os primeiros tópicos especialmente a esses temas com breves revisões sobre limites, continuidade, derivadas e integrais. O Teorema do valor intermédio (Teorema de Bolzano) nos interessa muito pelo seu corolário que garante que dada uma função f contínua e dois pontos a e b do seu domínio, se f(a).f(b) < 0 então existe c no domínio de f tal que f(c) = 0. Esse corolário não só nos diz que a equação f(x) = 0 tem pelo menos uma raíz, também nos diz que tal raíz se encontra no intervalo ]a,b[. Apresentamos também um caso particular do Teorema do valor intermédio que é o Teorema de ponto fixo. Um outro teorema com fortes ligações ao Teorema do valor intermédio é o Teorema de Weierstrass que estuda os limites máximos e mínimos numa função contínua. Este mesmo teorema é usado para provar o Teorema de Rolle. O Teorema do valor médio que diz que se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[ então existe um c pertencente a ]a ,b[ tal que f '(c) é igual à taxa de variação média da função em [a, b] também é estudado neste trabalho. Enfatizamos neste trabalho a importância das premissas dos teoremas, condições essas fundamentais para que se possam aplicar os teoremas. No caso do Teorema do valor médio a função deve ser contínua no intervalo [a, b] e deve ser diferenciável/derivável em ]a, b[ conceitos estudados nos capítulos 4 e 5. Não menos importante é tratado aqui o Teorema do valor médio com aplicação para integrais. Recorremos sempre ao software Geogebra para ilustrar cada um dos teoremas estudados tentando motivar as definições e as demonstrações. Também estudaremos as generalizações dos Teoremas do valor intermédio e médio. The mean value theorem and the intermediate value theorem are very important theorems used in the integral and differential Calculus and in other domains. In this work we are very interested in analysing these theorems, in studying them deeply and in analysing their applications and contributions. For that, because they are directly interlinked with continuity, derivability and integration, we had the need to go to the origins in the XVII century to notice how the calculus appeared from Isaac Newton's and Gottfried Leibniz's and understand in a more profound way the mean value and intermediate value theorems whose main authors are Bernard Bolzano and Joseph Louis of Lagrange in the XVIII century, generalized later by Michel Rolle,Augustin Cauchy and Karl Weierstrass. The historical context is given in Chapter 2. In Chapter 3 we analyze the secondary school curricula of both Portugal and Cabo Verde, paying attention to the above theorems, namely the way and extent to which they are taught and studied. To understand the mean and intermediate value theorems it is necessary to have the knowledge of limits, continuity and derivability. Therefore, in the chapters 5 and 6 we dedicated the first topics especially to those themes with brief revisions on limits, continuity, derivability and integration. The intermediate value theorem (Bolzano's theorem) interests us specially because of its corollary which states that given a continuous function f and two points a and b in its domain, if f(a).f(b)<0, then there exists c in its domain such that f(c) = 0. Such corollary not only states that the equation f(x) = 0 has a root but that such a root is in the interval ]a, b[. We also presented a particular case of the intermediate value theorem that is the fixed point theorem. Another theorem with strong connections to the intermediate value theorem is the Weierstrass Theorem that studies the maximums and minimus in a continuous function. This same theorem is used to prove the Rolle's Theorem. The mean value theorem, which states that if f is a continuous function in [a, b] and derivable in ]a, b[ then exists c in ]a, b[ such that f '(c) is the average rate of variation of the function in [a, b]. In this work we emphasize the importance of the premisses in the theorems above. Being in such conditions is fundamental to be able to apply those theorem. In the case of the mean value theorem the function should be continuous in the interval [a, b] and it should be derivable in ]a, b [concepts studied in chapters 4 and 5. No less important we also study the mean value theorem for integrals. We always rely on the software Geogebra to illustrate the teorems studied and to try to motivate definitions and proofs. We also study generalization of the intermediate and mean value theorems. por Teoremas Teorema do valor intermédio (Teorema de Bolzano) Teorema de Rolle Teorema de Weierstrass Teorema do valor médio (Teorema de Lagrange) Teorema do valor médio para integrais Theorem of intermediate value (Theorem of Bolzano) Theorem of Rolle Theorem of Weierstrass Theorem of medium value (Theorem of Lagrange) Theorem of medium value for integral Teoremas do valor médio e intermédio master thesis Dissertação de Mestrado em Matemática para Professores em associação com a Faculdade de Ciências e Tecnologias, apresentada à Universidade Aberta Publication 04:Educação de Qualidade restrictedAccess masterThesisrestricted